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[1] 1 En substituant le concept au sujet et le dynamisme du concept à la problématique sujet-objet, Cavaillès a modifié de façon radicale le paradigme traditionnel de la connaissance ». Sur cette phrase s’achève le livre consacré par Hourya Sinaceur à la philosophie mathématique de Jean Cavaillès. Elle en constitue la conclusion nécessaire. Si bien que l’enchaînement des trois chapitres du livre contribue à en légitimer et à en éclaircir le sens.

Seuls quelques uns, proches maintenant du terme ordinaire d’une vie humaine, subsistent parmi ceux qui ont suivi, en son temps, l’enseignement oral de Cavaillès. Pour eux Cavaillès est inoubliable. Et, à lire le travail d’Hourya Sinaceur, j’ai cru entendre encore cette voix et revivre cette présence. Restent les autres, plus jeunes et tellement plus nombreux. Pour ceux-ci seule demeure l’œuvre, dense, difficile, interrompue par une mort héroïque et précoce. Donner accès à une telle œuvre n’est-ce pas le moyen le plus sûr de célébrer le héros ?

Or, pour lire et comprendre Cavaillès, il faut d’abord s’instruire. C'est-à-dire acquérir quelque degré d’accointance avec les problèmes tant philosophiques que techniques que posaient les mathématiques, la logique et leur lien dans les années qui ont précédé la deuxième guerre mondiale ; et aussi s’efforcer de partager quelque chose de la culture propre de ce philosophe complet qu’était Jean Cavaillès. En cela, le livre d’Hourya Sinaceur me paraît répondre à la remarque que formulait Gaston Bachelard [3] en 1960, dans sa préface à la troisième édition de l’œuvre posthume de Cavaillès (Sur la logique et la théorie de la science) : « le lecteur doit s’instruire s’il veut que les formules de Cavaillès, rendues souvent énigmatiques par leurs concision, déploient leur sens ».

Le travail, sobre et clair, d’Hourya Sinaceur aide un tel lecteur à s’instruire. Et ceci en trois moments, enchaînés ; trois chapitres dont chacun ouvre l’éclaircissement d’une classe de problèmes, et « déploie le sens » d’un thème théorique précisément dégagé.

En intitulant son premier chapitre «  cette histoire qui n’est pas une histoire  », l’auteur dégage le problème dont l’examen incombe à ceux qui, comme Cavaillès (fidèle en cela à l’enseignement de son maître Léon Brunschvicg) se refusent à dissocier l’épistémologie d’une science de son histoire. La question est alors de déterminer le sens du possessif « son », qui donne l’indication d’un mode d’appartenance. Ce mode d’appartenance peut être accidentel et externe ou au contraire essentiel et interne, on dit «  sa rue » ou «  sa tête » ; il habite sa rue ; mais il est sa tête. Que les mathématiques aient une « histoire », cela semble aller de soi. Mais comment entendre « avoir » ? A la façon dont un homme a une maison ou à la façon dont il a sa tête ? Sur ce point il y a lieu de s’interroger. L’interrogation concerne tout autant le statut de ce qui est nommé « historique » que celui de l’activité de connaissance [5] à l’œuvre dans la constitution des mathématiques, selon les exigences propres à leurs procédures et à leur contenu. Hourya Sinaceur montre très bien ici en quoi Cavaillès se distingue essentiellement de son maître Brunschvicg. Ce dernier avait voulu rester prudent : il n’avait pas couru le risque de chercher en quel sens qui leur est propre mathématiques et histoire se conviennent en s’excluant pourtant. Il eût fallu pour cela conduire à son point extrême de rupture la tension des deux termes que rassemble l’expression de ce fait d’expérience patente : les mathématiques ont une histoire . Que Brunschvicg ait refusé ce risque, on le comprend bien. Pour lui le problème paraissait résolu d’avance. Les mathématiques témoignant de l’intériorité de l’esprit à lui-même, leur histoire est celle de leur fonction dans le procès de formation de la conscience humaine, en chemin vers la maîtrise d’elle-même au cœur d’une rationalité transparente et conquise sur un réel rebelle. Telle est la philosophie qui se dégage, en définitive, des Etapes de la Philosophie Mathématique, comme si la tâche essentielle du « Philosophe » était de construire la scène sur laquelle il peut se donner le spectacle de l’essor d’une rationalité dont les mathématiques ont institué l’éveil et assuré la jouissance. Encore faut-il établir que ce que l’on nomme en ce cas « histoire » n’est pas un effet de la scénographie elle-même. Il importe alors de rechercher, lorsqu’il s’agit [7] <des> mathématiques, en quoi la mise en scène est exigée par le caractère intrinsèque du travail mathématique saisi dans son actualité, selon ses exigences de productivité propre. Question où la philosophie court le plus grand risque ; il est bien possible en effet qu’à la poser on découvre qu’il n’y a pas de scène et donc pas de mise en scène possible. C’est pourquoi sans doute Léon Brunschvicg n’a pas pris ce risque et a contourné la question. Il lui fallait sauver la scène, nommée « histoire » sur laquelle la raison manifeste les formes de son déploiement. Qu’il y ait eu là l’indication d’un écart entre une philosophie <prenant> en concept la mathématique et cette mathématique elle-même saisie dans son effectivité en acte, Emile Borel l’avait déjà marqué dès août 1912 dans un article de la Revue du Mois consacré au statut de l’échelle des transfinis. La même année Brunschvicg avait publié les Etapes. E. Borel déclare que ce travail est l’effort « le plus puissant qu’ait jamais tenté un philosophe pour assimiler une discipline aussi étendue que la science mathématique et pour essayer de traduire en langage philosophique les résultats obtenus par les savants ». Il ajoute cependant qu’entre « esprit philosophique » et « esprit mathématique » il y a un « malentendu », si du moins on saisit l’aspect mathématique dans le moment même où le mathématicien fait de la mathématique (c'est-à-dire, selon Borel en ce temps-là, lorsqu’il définit, démontre et calcule). Or Cavaillès, sa vie et sa mort l’ont montré, n’était pas homme à contourner les risques, s’il les jugeait nécessaires. Dans le cas présent le risque était nécessaire : il s’indiquait au sein de la « chose même » qui était en question : la mathématique en son actualité, qui exclut toute mise en scène historique et cependant se déploie comme devenir propre. Il fallait se risquer à penser ce devenir intrinsèque [9] c'est-à-dire à en proposer le concept.

Le travail de la pensée qui se dessine ici est des plus difficiles : il exige un renversement radical des modes usuels de penser. C’est seulement, en effet, du dedans de ce devenir qu’il importe d’en déterminer le concept. Ce devenir est pour ainsi dire un fleuve sans rives. La seule façon de comprendre ses modes d’écoulement est alors de se tenir dans sa profondeur et d’accomplir, depuis cette profondeur, l’expérience de ses états de flux dans leur enchaînement éprouvé.

Il en résulte que dans cette affaire, qui concerne la pensée du devenir propre des mathématiques, il n’y a ni spectacle, ni mise en scène, ni spectateur, puisque prendre en vue le devenir du « fleuve » depuis une rive immobile est, <par essence>, exclu. Et à l’inverse aussi est exclue par la nature de la chose toute prise de vue du paysage qui offrirait les « rives », pour qui, flottant à la surface du « fleuve », se laisserait abandonner à son cours. Mais alors la tâche de la pensée est ici de saisir sur le vif la conceptualité propre aux mathématiques comme immanente à leur devenir même.

Hourya Sinaceur a donc bien raison, en conclusion de ce premier chapitre, de souligner qu’en proclamant l’ « autonomie du devenir » des mathématiques, Cavaillès demeure fidèle à l’inspiration spinoziste de sa pensée. Imprévisibilité du devenir et nécessité interne des connexions conceptuelles tiennent ensemble ; l’exigence de connexion se manifeste peu à peu, mais le moment (que l’on peut bien nommer « historique » de cette manifestation se renoue nécessairement et sans cesse aux moments qui l’ont précédé, selon une forme de relation qui ne relève pas de la « contingence » d’une « histoire », mais du dynamisme interne de la pensée même, par quoi se conquiert l’intelligibilité.

[13] Ainsi, dès ce premier chapitre, nous voici en chemin vers la phrase de conclusion que je citais en commençant. Si la tâche d’une philosophie des mathématiques ne peut se déterminer que de l’intérieur des mathématiques elles-mêmes, dans une exigence d’immanence rigoureuse de leur intelligibilité et leur devenir propre, alors il faut , d’une façon liminaire et principielle récuser la dichotomie usuelle du « sujet » et de « l’objet », et cela qu’elle que soit la façon dont on croit pouvoir relier ces deux termes.

Ici apparaît la principale difficulté qu’offre la lecture des textes de Cavaillès. Elle tient à ce qu’elle exige du lecteur une conversion vers la pensée de l’immanence (spinoziste, en somme). Faute d’une telle conversion les mots utilisés par Cavaillès (qui sont ceux de la langue naturelle) « actes », « intentions », « gestes », « intuition », « opération », « objet », « objectivité », risquent de donner occasion à bien des malentendus, pour peu qu’on en effectue le sens <en> le rapportant, comme il est d’usage, à quelque sujet « psychologique », « historique » ou même « transcendantal », peu importe.

[11] C’est plutôt vers ce que Spinoza avait appelé « idée de l’idée » qu’il importe ici de se diriger de préférence. C'est-à-dire non pas le simple redoublement réfléchi d’un contenu de pensée, mais la reconnaissance, dans l’actualité positive de ce contenu lui-même, de la forme de productivité interne qui prenant possession de son intelligibilité en assure la pérennité et en exige le renouveau.

La même position d’immanence interdira toute référence à un « monde » prédonné d’entités (Idées ou Structures) auquel les mathématiques donneraient accès ou dont elles constitueraient, « ici-bas », le mode spécifique de manifestation. En cela Cavaillès se séparait de son ami Albert Lautman (comme lui fusillé pour son activité de résistant). Mais si les mathématiques, dans le devenir de leurs procédures et l’enchaînement des formes d’énoncés qui expriment leur contenu, ne sont pas réglées d’ « en haut », si au contraire, elles ne se règlent que du dedans d’elles-mêmes, alors il faut dire que les « objet », « structures », « entités » qui s’y constituent et auxquels leurs énoncés se réfèrent, ne peuvent être fixées, maintenus, repris, et remis en mouvement que de l’intérieur du devenir de la Théorie elle-même et conformément à ses exigences chaque fois effectuées. Le sens de l’expression du langage ordinaire « ceci existe » doit donc être [15] entièrement reconverti vers cette position d’immanence. En ce qui concerne les « objets » mathématiques, son sens usuel doit être abandonné.

Ainsi la philosophie mathématique ne pourra être qu’une « pensée » du dedans. Elle exige donc du philosophe qui s’y applique qu’il « s’engage à fond » dans l’ « élément mathématique » comme le plongeur dans l’ « élément liquide ».

Tout le livre d’Hourya Sinaceur montre comment Cavaillès s’est engagé à fond dans les mathématiques de son temps et comment, du fait de la manière d’être de ce dans quoi il s’engage, il s’en est tenu fermement à sa position d’immanence, d’inspiration spinoziste de son propre aveu. Il n’a pas reculé devant les risques d’un tel travail. Les mathématiques en effet ne laissent pas la pensée tranquille. Et si l’exigence est de tenter de les penser du dedans, en position d’immanence, alors il faut se mouvoir à contre-courant, non seulement des idées reçues (ce qui va de soi), mais des philosophies ambiantes et dominantes, si raffinées et argumentées qu’elles paraissent.

[17] C’est bien cela qui me paraît se dégager de la lecture des chapitre 2 et 3 du livre d’Hourya Sinaceur. C’est essentiellement la thèse principale de Cavaillès (Méthode axiomatique et formalisme. Essai sur le problème du fondement des mathématiques) qui fait l’objet du premier de ces chapitres. Tous ceux qui abordent pour la première fois la lecture des textes de Cavaillès trouveront profit à commencer par lire ce chapitre. Ils y trouveront le degré d’instruction nécessaire pour comprendre les formulations, toujours précises, mais souvent concises de Cavaillès ; il était si profondément immergé dans la mathématique de son temps, dans ses techniques et ses procédures, que le cours de ses pensées, animé par une exigence de connexion conceptuelle sans faille, risque de laisser désarmé un lecteur novice. Sur Hilbert, sur l’intuitionnisme, sur le logicisme à la Carnap, un tel lecteur trouvera [19] le minimum d’informations nécessaires pour s’orienter. Mais il y trouvera bien davantage encore, pour peu qu’il accepte de persévérer et de se plier au travail que cette persévérance exige.

Il y découvrira en quoi et comment le travail de Cavaillès a bouleversé la configuration de la philosophie mathématique de son temps. Cavaillès a dépassé les oppositions doctrinales qui semblaient alors se disputer le champ de cette philosophie : « Logicisme » ; « Formalisme » ; « Intuitionnisme ». Mais il les a dépassées par le fond : en allant plus loin dans l’exigence d’intelligibilité de la « chose même » qui faisait question : la mathématique prise en ses pratiques spécifiques et son devenir propre. Or, ce que les thèses doctrinales semblent séparer, se trouve rassemblé «  in re  » : dans le devenir effectif des mathématiques.

Ainsi rien ne se trouve sacrifié de ce qui fait le tissu vivant des mathématiques, ni le « formalisme », ni l’« intuitif », ni la « logique ». Seulement de la formalisation, toujours nécessaire, il ne faut pas attendre le fondement ultime des mathématiques. Dans l’intuition, telle que la présentait Brouwer, il est vain de chercher la source intime des énoncés valides, et le domaine originaire d’où surgit la créativité théorique. De la logique (quel que soit le [21] degré de formalisation qu’elle <atteigne>, on ne peut espérer, comme l’avait pensé Frege, engendrer, à l’aide des seuls moyens que cette logique propose, le moindre concept mathématique, assez riche pour se révéler productif. Fidèle à sa position d’immanence Cavaillès saisit les trois « éléments », constitutifs de l’expérience mathématicienne, dans leur essentielle connexion. Il les saisit à sa manière spinoziste, dans l’actualité de l’idée. C’est pourquoi sans doute une « philosophie de la conscience » ne peut constituer une théorie de la science. « Le terme de conscience », écrit-il, « ne comporte pas d’univocité d’application - pas plus que la chose, d’unité isolable. Il n’y a pas de 2 conscience génératrice de ses produits, ou simplement immanente à eux, mais elle est chaque fois dans l’immédiat de l’idée » (Sur la logique et la théorie de la science, p.78 3 ). Et il ajoute que les « moments de conscience » ne s’enchaînent que « par les liens internes des idées » auxquelles chaque fois, ces moment appartiennent. H. Sinaceur a bien raison de souligner ici que les expressions utilisées par Cavaillès dans ses thèses pour décrire le travail militant du mathématicien « acte », « activité », « geste » doivent être traitées comme des métaphores qui [23] font signe vers la productivité interne des concepts (« idée de l’idée »), et non vers un sujet constituant (quelque nom qu’on lui donne).

De son propre aveu Kant et Spinoza sont les deux philosophes qui, dans l’exercice du travail de la pensée, ont le plus marqué Cavaillès. Ce que H. Sinaceur fait bien ressortir, c’est que l’expérience mathématicienne de ce même travail l’a porté vers Spinoza. Dans la mathématique la pensée rationnelle («  ordo et connexio idearum  ») montre en acte le pur enchaînement de ses moments productifs. Il en résulte « qu’on ne peut faire à la démonstration sa part », sous peine de masquer l’essentielle connexion des idées, de déserter le concept, et donc de manquer la théorie de la science. Il faut apprendre à voir, comme l’avait dit Spinoza, « avec les yeux de l’esprit, qui sont les démonstrations ». Mais si, « dans [25] l’immédiat de l’idée », légalité et créativité marchent du même pas, on ne pourra, sans trahir la rationalité même, sacrifier l’une à l’autre.

On saisit ici les motivations qui, dans le débat qui opposait les partisans de Hilbert et ceux de Brouwer, ont poussé Cavaillès à choisir le parti de Hilbert. L’axiomatisation, la formalisation qui « l’accompagne » et la <précise>, sont des moments internes du devenir de la mathématique (en langage spinoziste des modes de productivité de la pensée dans la connexion des idées) : « le progrès », a écrit Cavaillès, « est matériel et 4 entre essences singulières, son moteur est l’exigence de dépassement de chacune d’elles » (Sur la Logique et la Théorie de la Science, p.78). Mais alors on ne peut attendre de la formalisation, à quelque niveau de raffinement symbolique et de généralité qu’elle se produise, qu’elle exerce une fonction de fondement pour la totalité d’un champ théorique. Elle est un moment nécessaire de l’effectuation de l’exigence de dépassement qui est le moteur du progrès, et donc l’expression d’un moment, toujours singulier, effectif, de ce progrès même, à quelque degré de généralité qu’il se constitue. [27] Or cette expression est symbolique et l’est nécessairement. Il en résulte que ces assemblages réglés de « symboles », en quoi consistent les formalismes, ne sont ni des « adjuvants » pour la mémoire, ni non plus les « tenants lieu » de quelque objet prédonné, qui leur servirait de référent. En ce sens le « signe » mathématique comporte une objectivité de plein droit. Pris dans « l’immédiat de l’idée », il entraine une position d’acte et se trouve ainsi exigé, in re , dans l’effectif, par le procès de la généralisation même, et l’urgence des dépassements. On pourrait dire que l’objectivité des mathématiques consiste dans l’effectuation de ses écritures et dans l’effectif qui s’y produit. Les « formules », écrit Cavaillès « dans leur originalité concrète constituent pour le mathématicien la réalité objective » (Méthode axiomatique et formalisme, p.175) 5 . Un « signe mathématique » n’est pas le représentant d’un « objet » qu’il importerait de lui substituer pour en comprendre l’usage, il est l’indication du travail exigé par le dynamisme des concepts. En somme la « formule symbolique » indique la connexion essentielle objet-opération. Hourya Sinaceur a bien raison de marquer (ainsi que l’avait fait Cavaillès lui-même devant la société française de philosophie, après la soutenance de ses thèses) que la [29] question reste ouverte de savoir comme se constitue la relation acte-objet. Mais elle a tout à fait raison de souligner aussi que déjà s’ouvre la voie qui sera explorée dans le travail posthume de Cavaillès.

Et de fait, s’il est vrai que le signe, loin d’être le tenant lieu d’un objet, porte l’indication d’un travail, interne à la mathématique elle-même, alors c’est la forme immanente d’un tel travail que le philosophe doit dégager et reproduire dans un concept qui lui soit adéquat.

H. Sinaceur a raison d’écrire (p. 73) qu’en 1938 « tout est dit de ce qui constituera la base des réflexions de Sur la Logique et la Théorie de la science ». Le « champ thématique » (expression d’inspiration husserlienne) se trouvait bien indiqué dès 1938 comme domaine propre à manifester la liaison objet-opération. Mais les actes d’effectuation devaient-ils être rapportés à une « conscience » ? La manière dont Cavaillès conçoit la fonction du signe « hilbertien » (immanence essentielle de l’acte au signe) semblait devoir l’interdire. D’où l’exigence d’aller plus loin encore et plus radicalement vers l’essence de la pensée rationnelle, [31] telle que la manifeste la formalisation pensée, comme moment inhérent au devenir de la mathématique effective, et de ce fait, productif en elle.

Dans son travail (pages 92-100) H. Sinaceur analyse d’une manière très claire, comment, dans la connexion du « paradigmatique » (idéalisation) et du « thématique » la mathématique formelle se produit comme un engendrement indéfini d’objets. Les pages extrêmement serrées de Cavaillès (p. 26-33 de Sur la Logique et la Théorie de la science) où se trouve établie la distinction du « paradigmatique » et du « thématique », et montrée la connexion, toujours renouvelée, du « longitudinal  paradigmatique » et du « transversal thématique », sont fort bien éclairées à partir d’exemples simples.

Le lecteur apprendra par là ce que signifie, en mathématiques, le travail de la formalité. Il y apprendra qu’un  « objet » mathématique n’est rien qui puisse être donné. Rien non plus, comme le pensait Kant, de construit <par un pur entendement 6 dans le divers d’une intuition donnée>. A vrai dire l’usage du mot « objet » constitue un abus de langage : ce qui se produit dans le dynamisme du champ thématique, n’est pas objet au sens usuel, mais « objet-théorie ». « J’appelle objet », avait écrit Kant, « ce dans le concept de quoi se trouve réuni le divers d’une intuition donnée ». Au sein de la mathématique [33] formelle, telle que Cavaillès la pense, il n’y a d’autre divers que celui qu’engendre le dynamisme des concepts, et toute synthèse y est interne dans la relation, elle-même interne, du « paradigmatique » et du « thématique ».

En ce sens Hilbert avait raison de penser qu’au commencement <est> le « signe » (Zeichen), s’il est vrai du moins que le « signe » est ce dans quoi la liaison opération-objet se montre, et ce par quoi ce couple formel déploie sa dialectique comme le devenir effectif de la rationalité : « idée de l’idée » pour reprendre l’expression de Spinoza. Ce qui justifie amplement la conclusion d’H. Sinaceur qui figure au début de cet article.